Takwimu za uchi ndicho kitabu cha kuvutia zaidi kuhusu sayansi inayochosha zaidi

2024 Mwandishi: Malcolm Clapton | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2023-12-17 04:11

Nani alisema takwimu ni sayansi butu na isiyo na maana? Charles Wheelan anasema kwa kushawishi kwamba hii ni mbali na kesi hiyo. Leo tunachapisha dondoo kutoka kwa kitabu chake kuhusu jinsi ya kushinda gari, sio mbuzi, kwa kutumia takwimu, na kuelewa kwamba intuition inaweza kukupotosha.

Kitendawili cha Ukumbi wa Monty

The Monty Hall Mystery ni tatizo maarufu katika nadharia ya uwezekano ambalo liliwashangaza washiriki katika onyesho la mchezo liitwalo Let’s Make a Deal, ambalo bado linajulikana katika nchi kadhaa, lililoonyeshwa kwa mara ya kwanza nchini Marekani mwaka wa 1963. (Nakumbuka kila wakati nilipotazama onyesho hili nikiwa mtoto, wakati sikwenda shule kwa sababu ya ugonjwa.) Katika utangulizi wa kitabu, tayari nilisema kwamba onyesho hili la mchezo linaweza kuwavutia wanatakwimu. Mwishoni mwa kila suala lake, mshiriki aliyefika fainali alisimama na Monty Hall mbele ya milango mitatu mikubwa: Mlango Na. 1, Mlango Na. 2 na Mlango Na. kati ya milango hii ilikuwa ni zawadi ya thamani sana - kwa mfano gari jipya na mbuzi nyuma ya ile mingine miwili. Mshindi wa mwisho alilazimika kuchagua moja ya milango na kupata kile kilicho nyuma yake. (Sijui ikiwa kulikuwa na angalau mtu mmoja kati ya washiriki kwenye onyesho ambaye alitaka kupata mbuzi, lakini kwa ajili ya unyenyekevu, tutadhani kwamba idadi kubwa ya washiriki waliota gari mpya.)

Uwezekano wa awali wa kushinda ni rahisi kuamua. Kuna milango mitatu, mbili huficha mbuzi, na ya tatu inaficha gari. Wakati mshiriki katika onyesho anasimama mbele ya milango hii na Monty Hall, ana nafasi moja kati ya tatu ya kuchagua mlango nyuma ambayo gari iko. Lakini, kama ilivyoonyeshwa hapo juu, kuna mtego katika Hebu Tufanye Mpango ambao haukufai mpango huu wa TV na mtangazaji wake katika fasihi juu ya nadharia ya uwezekano. Baada ya mshiriki wa mwisho wa onyesho kuelekeza moja ya milango mitatu, Monty Hall inafungua moja ya milango miwili iliyobaki, ambayo nyuma yake kuna mbuzi kila wakati. Kisha Monty Hall anauliza mshiriki wa mwisho ikiwa anataka kubadilisha mawazo yake, ambayo ni, kuachana na mlango uliochaguliwa hapo awali ili kupendelea mlango mwingine uliofungwa.

Hebu tuseme, kwa ajili ya mfano, kwamba mshiriki alionyesha Mlango # 1. Kisha Monty Hall alifungua Mlango # 3, nyuma ambayo mbuzi alikuwa amejificha. Milango miwili, Mlango # 1 na Mlango # 2, hubakia kufungwa. Ikiwa zawadi ya thamani ilikuwa nyuma ya Mlango Na. Ni wakati huu ambapo Monty Hall anauliza mchezaji ikiwa anataka kubadilisha chaguo lake la awali (katika kesi hii, achana na Mlango # 1 kwa niaba ya Mlango # 2). Bila shaka, utakumbuka kwamba milango yote miwili bado imefungwa. Habari mpya pekee ambayo mshiriki alipokea ni kwamba mbuzi aliishia nyuma ya moja ya milango miwili ambayo hakuichagua.

Je, mshindi anapaswa kuachana na chaguo la awali kwa niaba ya Mlango # 2?

Ninajibu: ndio, inapaswa. Ikiwa atashikamana na chaguo la awali, basi uwezekano wa kushinda tuzo ya thamani itakuwa ⅓; ikiwa atabadilisha mawazo yake na kuelekeza kwa Mlango Nambari 2, basi uwezekano wa kushinda tuzo ya thamani itakuwa ⅔. Ikiwa huniamini, endelea kusoma.

Ninakubali kwamba jibu hili ni mbali na dhahiri kwa mtazamo wa kwanza. Inaonekana kwamba yoyote kati ya milango miwili iliyosalia atakayochagua mshindi wa fainali, uwezekano wa kupokea zawadi ya thamani katika hali zote mbili ni ⅓. Kuna milango mitatu iliyofungwa. Mara ya kwanza, uwezekano kwamba zawadi ya thamani imefichwa nyuma ya yoyote kati yao ni ⅓. Je, uamuzi wa mshindi wa fainali kubadilisha chaguo lake kwa ajili ya mlango mwingine uliofungwa hufanya tofauti yoyote?

Bila shaka, kwa kuwa kukamata ni kwamba Monty Hall anajua nini nyuma ya kila mlango. Ikiwa mshindi atachagua Mlango # 1 na kweli kuna gari nyuma yake, Monty Hall inaweza kufungua Mlango # 2 au Mlango # 3 ili kufichua mbuzi anayemnyemelea nyuma yake.

Ikiwa mshindi atachagua Mlango wa 1 na gari liko nyuma ya Mlango wa 2, basi Monty Hall itafungua Mlango wa 3.

Ikiwa mshindi ataelekeza kwenye Mlango wa 1 na gari liko nyuma ya Mlango wa 3, basi Monty Hall itafungua Mlango wa 2.

Kwa kubadilisha mawazo yake baada ya mtangazaji kufungua moja ya milango, mshiriki wa mwisho anapata faida ya kuchagua milango miwili badala ya moja. Nitajaribu kukushawishi juu ya usahihi wa uchambuzi huu kwa njia tatu tofauti.

Ya kwanza ni ya majaribio. Mnamo 2008, mwandishi wa safu ya New York Times John Tyerney aliandika juu ya Uzushi wa Monty Hall. Baada ya hapo, wafanyikazi wa uchapishaji walitengeneza programu inayoingiliana ambayo hukuruhusu kucheza mchezo huu na kuamua kwa uhuru ikiwa utabadilisha chaguo lako la kwanza au la. (Mpango huu hata hutoa kwa mbuzi wadogo na magari madogo yanayoonekana kutoka nyuma ya milango.) Mpango huo unarekodi ushindi wako ikiwa utabadilisha chaguo lako la awali, na katika kesi wakati unabaki bila kushawishika. Nilimlipa binti yangu mmoja kucheza mchezo huu mara 100, nikibadilisha chaguo lake la asili kila wakati. Pia nilimlipa kaka yake kucheza mchezo huo mara 100 pia, nikiweka uamuzi wa awali kila wakati. Binti alishinda mara 72; kaka yake mara 33. Kila juhudi ilizawadiwa dola mbili.

Ushahidi kutoka kwa vipindi vya mchezo Hebu Tufanye Mpango unaonyesha muundo sawa. Kulingana na Leonard Mlodinov, mwandishi wa The Drunkard's Walk, wale waliofika fainali ambao walibadilisha chaguo lao la awali walikuwa na uwezekano wa kushinda mara mbili zaidi ya wale ambao hawakuwa na uhakika.

Maelezo yangu ya pili kwa jambo hili ni msingi wa angavu. Wacha tuseme sheria za mchezo zimebadilika kidogo. Kwa mfano, mshindi anaanza kwa kuchagua moja ya milango mitatu: Mlango # 1, Mlango # 2, na Mlango # 3, kama ilivyopangwa awali. Hata hivyo, basi, kabla ya kufungua milango yoyote ambayo mbuzi amejificha nyuma yake, Monty Hall anauliza: "Je, unakubali kuacha uchaguzi wako badala ya kufungua milango miwili iliyobaki?" Kwa hivyo, ikiwa ulichagua Mlango # 1, unaweza kubadilisha mawazo yako kwa kupendelea Mlango # 2 na Mlango # 3. Ikiwa ulielekeza kwa Mlango # 3 kwanza, unaweza kuchagua Mlango # 1 na Mlango # 2. Na kadhalika.

Huu hautakuwa uamuzi mgumu kwako: ni dhahiri kabisa kwamba unapaswa kuacha chaguo la awali kwa niaba ya milango miwili iliyobaki, kwani hii huongeza nafasi za kushinda kutoka ⅓ hadi ⅔. Jambo la kuvutia zaidi ni kwamba ni hii, kwa asili, kwamba Monty Hall inakupa katika mchezo halisi, baada ya kufungua mlango nyuma ambayo mbuzi amejificha. Ukweli wa kimsingi ni kwamba ikiwa ungepewa fursa ya kuchagua milango miwili, mbuzi angefichwa nyuma ya mmoja wao. Wakati Monty Hall inafungua mlango ambao mbuzi yuko, na kisha kukuuliza ikiwa unakubali kubadilisha chaguo lako la awali, huongeza sana nafasi zako za kushinda tuzo ya thamani! Kimsingi, Monty Hall anakuambia, "Uwezekano wa zawadi muhimu kujificha nyuma ya moja ya milango miwili ambayo hukuchagua mara ya kwanza ni ⅔, ambayo bado ni zaidi ya ⅓!"

Unaweza kufikiria kama hii. Wacha tuseme ulielekeza kwenye Mlango # 1. Baada ya hapo, Monty Hall inakupa fursa ya kuachana na uamuzi wa awali kwa kupendelea Mlango # 2 na Mlango # 3. Unakubali na unayo milango miwili, ambayo inamaanisha kuwa unayo. kila sababu inatarajia kushinda zawadi muhimu yenye uwezekano wa ⅔, si ⅓. Nini kingetokea ikiwa wakati huu Monty Hall alikuwa amefungua Mlango wa 3 - moja ya milango "yako" - na kulikuwa na mbuzi nyuma yake? Je, ukweli huu unaweza kutikisa imani yako katika uamuzi wako? Bila shaka hapana. Ikiwa gari lilikuwa limejificha nyuma ya Mlango wa 3, Monty Hall ingefungua Mlango wa 2! Asingekuonyesha chochote.

Mchezo unapochezwa kulingana na hali ya kugonga, Monty Hall inakupa chaguo kati ya mlango uliobainisha hapo mwanzo, na milango miwili iliyosalia, ambayo mmoja unaweza kuwa gari. Wakati Monty Hall anafungua mlango ambao mbuzi amejificha, anakufanyia upendeleo kwa kukuonyesha ni mlango upi kati ya milango mingine miwili ambayo sio gari. Una uwezekano sawa wa kushinda katika matukio yote mawili yafuatayo.

1. Kuchagua Mlango # 1, kisha kukubali "kubadilisha" hadi Mlango # 2 na Mlango # 3 hata kabla ya mlango wowote kufunguliwa.
2. Kuchagua Mlango # 1, kisha kukubali "kubadilisha" hadi Mlango # 2 baada ya Monty Hall kukuonyesha mbuzi nyuma ya Mlango # 3 (au kuchagua Mlango # 3 baada ya Monty Hall kukuonyesha mbuzi nyuma ya Mlango # 2).

Katika visa vyote viwili, kuachana na uamuzi wa awali hukupa faida ya milango miwili zaidi ya moja, na hivyo unaweza mara mbili ya nafasi zako za kushinda kutoka ⅓ hadi ⅔.

Chaguo langu la tatu ni toleo kali zaidi la angavu sawa la msingi. Wacha tuseme Monty Hall anakuuliza uchague moja ya milango 100 (badala ya moja ya milango mitatu). Baada ya kufanya hivi, sema kwa kuashiria Mlango # 47, anafungua milango 98 iliyobaki, ambayo itafunua mbuzi. Sasa ni milango miwili tu iliyobaki imefungwa: Mlango wako Nambari 47 na mwingine, kwa mfano, Mlango Na. 61. Je, unapaswa kuacha chaguo lako la awali?

Bila shaka ndiyo! Kuna uwezekano wa asilimia 99 kuwa gari liko nyuma ya moja ya milango ambayo hukuchagua mwanzoni. Monty Hall alikufanyia hisani kwa kufungua milango 98 kati ya hii, hakukuwa na gari nyuma yake. Kwa hivyo, kuna nafasi 1 tu kati ya 100 ambayo chaguo lako la kwanza (Mlango # 47) litakuwa sahihi. Wakati huo huo, kuna nafasi 99 kati ya 100 kwamba chaguo lako la kwanza lilikuwa sahihi. Ikiwa ndivyo, basi gari iko nyuma ya mlango uliobaki, yaani, Mlango Nambari 61. Ikiwa unataka kucheza na uwezekano wa kushinda mara 99 kati ya 100, basi unapaswa "kubadili" kwa Mlango Nambari 61.

Kwa kifupi, ikiwa utawahi kucheza Hebu Tufanye Makubaliano, hakika utahitaji kurudi nyuma kwenye uamuzi wako wa awali wakati Monty Hall (au yeyote atakayechukua nafasi yake) atakapokupa chaguo. Hitimisho la jumla kutoka kwa mfano huu ni kwamba makadirio yako angavu kuhusu uwezekano wa matukio fulani yanaweza kukupotosha.